Em nossa vida, como na matemática, devemos: - Somar alegrias; - Diminuir tristezas; - Multiplicar felicidade; - E dividir amor. Nestas dimensões, certamente todos gostamos da matemática.
A matemática é o alfabeto com o qual DEUS escreveu o universoPitágoras
segunda-feira, 14 de dezembro de 2009 Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras é porventura o resultado matemático mais conhecido. Ele é conhecido não só por matemáticos, como também por não matemáticos. Muitos de nós aprendemo-lo através da seguinte história:
"Numa tarde em Siracusa, diz Pitágoras aos seus netos: o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos seus catetos".
Na Antiguidade, os egípcios recorreram ao conhecimento deste teorema para desenhar ângulos retos. Usavam cordas com nós com espaçamentos de três, quatro e cinco unidades e, depois, utilizando as três cordas, esticavam-nas até formarem um triângulo, que sabiam ter um ângulo recto, oposto ao seu lado maior.
Apesar de este teorema ter recebido o nome do matemático grego Pitágoras (cerca de 540 a.C.), existem provas de que ele remonta, pelo menos, aos babilónios do tempo de Hamurabi, mais de mil anos antes de Pitágoras ter vivido. É provável que a referência a Pitágoras se deva ao facto de o primeiro registo escrito da sua demonstração ser proveniente da sua escola.
Entre as extensas investigações matemáticas da escola pitagórica, encontramos também os estudos dos números pares e ímpares e dos números primos e quadrados, que são muito importantes na teoria dos números. Os pitagóricos cultivaram o conceito de número, que se tornou para eles o princípio de toda a proporção, ordem e harmonia no universo.
Veja uma demonstração utilizando dobragens de papel em: www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/pitagora.htm Postado por Matemática no Universo às 08:36 1 comentários GEOMETRIA E NATUREZA
"O universo (...) não pode ser compreendido a menos que primeiro aprendamos a linguagem no qual ele está escrito. Ele está escrito na linguagem matemática e os seus caracteres são o triângulo, o círculo e outras figuras geométricas, sem as quais é impossível compreender uma palavra que seja dele: sem estes, ficamos às escuras, num labirinto escuro." (1626 - Galileu Galilei)
A existência de uma natureza geométrica não passou despercebida aos sábios da Antiguidade, e já Pitágoras se referia a este fenômeno e efetuou vários estudos a esse respeito. Aliás, foi ele próprio que afirmou: "Todas as coisas são números"
Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria. –A simetria na Natureza é um fenômeno único e fascinante. Esta ideia surge naturalmente ao espírito humano, remetendo-o para um equilíbrio e proporção, padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Estes são alguns dos vocábulos que resumem reacções que temos inerentes às simetrias que abundam na Natureza, nas formas vivas e inanimadas. –Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas e em diferentes locais.
Uma figura geométrica plana diz-se simétrica se for possível dividi-la por uma recta, de forma que as duas partes obtidas se possam sobrepor por dobragem. As rectas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura.
–Um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza é o caso da borboleta, a qual apresenta um único eixo de simetria.
Todavia existem figuras que podem ter vários eixos de simetria ou nenhum. (Leia mais sobre geometria e naturesa em www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/geometria.htm#Simetria%20na%20Natureza)
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e
Exemplo:
*
x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. *
6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. *
7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. *
x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.
a é sempre o coeficiente de x²;
b é sempre o coeficiente de x,
c é o coeficiente ou termo independente.
Equação completas e Incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
* x² - 36 = 0 (b = 0)
* x² - 10x = 0 (c = 0)
* 4x² = 0 (b = c = 0)
Resolução de equações incompletas
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:
1ª Propriedade:
2ª Propriedade:
1º Caso: Equação do tipo .
Exemplo:
* Determine as raízes da equação , sendo .
Solução Inicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .
2º Caso: Equação do tipo
Exemplos:
*
Determine as raízes da equação , sendo U = IR.
Solução
De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.
As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.
A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.
O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.
As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações.
As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos(Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cônica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração.
“O Cálculo” é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que ocorrem em fenômenos que abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos.
1- Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.
2-Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.
3-Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade por exemplo, as distâncias máxima e mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil.
4- Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a aceleração.
Embora egípcios e babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo inclusive equações quadráticas e sistemas de equações e conhecessem muitos resultados de geometria inclusive o famoso Teorema de Pitágoras, tanto egípcios quanto babilônios resolviam os problemas propostos.
Os resultados obtidos por egípcios e babilônios foram assimilados pelos gregos que tiveram o mérito de contribuir para o estabelecimento da matemática da forma como a entendemos hoje.
Foi na Grécia que surgiu o primeiro livro de Matemática – “Os Elementos de Euclides” - que se constituiu na primeira tentativa de sistematização dos conhecimentos adquiridos até então e na construção de uma teoria matemática baseada em poucos postulados.
À matemática empírica de babilônios e egípcios se contrapõe então, à matemática dedutiva da escola grega.
Eram esses os problemas e era esse o estágio de desenvolvimento da matemática desde a Grécia até os séculos XVI e começo do século XVII.
As grandes navegações do século XVI, o surgimento da indústria, os interesses do grande comércio que surgia na época, exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao movimento planetário.
Destes problemas ocuparam-se grandes cientistas do século XVII, porém o clímax destes esforços—a invenção (ou descoberta?) do Cálculo—coube a Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Após o estabelecimento dos fundamentos do Cálculo, torna-se possível à análise de problemas físicos de real importância, com precisão e rigor jamais experimentados. São estabelecidos os fundamentos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos e tem início o estudo das Equações Diferenciais e Integrais.
O Cálculo Integral: alguns fatos históricos
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.
A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.
A questão mais importante, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.
Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.
Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número“pi”.
O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de “pi” por aproximações sucessivas foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade.
Outras contribuições para o Cálculo
Outras contribuições para o nascimento do Cálculo Integral foram as de Fermat e Joham Bernoulli .
Aritmética do Infinito Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, “parábolas maiores,” que era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.
O Cálculo Integral era visto separadamente por Newton e Leibniz: Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico. Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O Cálculo de Newton foi simplesmente visto como derivadas “reversas”. Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado método das frações parciais.
As idéias de Bernoulli foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integraisEuler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época.Foi Euler, entretanto, quem criou os fundamentos da Análise.
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.
Cálculo Infinitesimal
Natureza do Cálculo Infinitesimal.
Ocorrendo que uma variável y seja função de outra variável x, se propõe a estudar em dois momentos:
Inicialmente descobre-se uma representação analítica y = f( x ) expressando essa dependência, a seguir estuda-se as propriedades dessa função .
Em oposição ao enfoque mais recente de Cauchy-Weierstrass e que substitui o uso dos infinitésimos por desigualdades tipo epsilon-delta, por ser mais natural e intuitivo, alem de corresponder muito melhor ao modo de pensar dos físicos e engenheiros.
Com a divulgação dos escritos matemáticos de Archimedes na Europa aplicando seus métodos na determinação de áreas, volumes e centros de gravidade, é retomado com enorme ímpeto o estudo dos métodos infinitesimais. De início, a preocupação é apenas a de continuar a tradição arquimediana.
Mas logo o espírito renascentista se faz notar através de Galileu 1620 . Esse, ao contrário dos já citados, procurou ir além dos gregos e não mais se limitar a estudar as grandezas de natureza geométrica da Astronomia, Óptica e Estática. Ele é a primeira grande inteligência a estudar quantitativamente áreas nunca abordadas pelos gregos clássicos: Cinemática, Dinâmica, Elasticidade, etc.
O enorme prestígio de Galileu possibilitou que todos vissem que os métodos infinitesimais eram os instrumentos adequados para o estudo dessas novas disciplinas, passados 100 anos surgiu Newton, esse já encontrou uma ampla base matemática e física para a composição do primeiro grande monumento celebrando o poder do Cálculo Infinitesimal.
