Equaçoes do 2º grau

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Equações de 2º grau

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:

*

x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
*

6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
*

7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
*

x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.



Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

* x² - 36 = 0
(b = 0)



* x² - 10x = 0
(c = 0)



* 4x² = 0
(b = c = 0)


Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:



1º Caso: Equação do tipo .

Exemplo:

* Determine as raízes da equação , sendo .

Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:


Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:


Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:


De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

*

Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução





De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.