O nascimento do calculo

O Nascimento do Cálculo

Um pouco sobre a história do Cálculo

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.

As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações.

As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cônica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração.

“O Cálculo” é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que ocorrem em fenômenos que abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos.

1- Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.

2- Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.

3- Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade por exemplo, as distâncias máxima e mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil.

4- Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a aceleração.

Embora egípcios e babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo inclusive equações quadráticas e sistemas de equações e conhecessem muitos resultados de geometria inclusive o famoso Teorema de Pitágoras, tanto egípcios quanto babilônios resolviam os problemas propostos.

Os resultados obtidos por egípcios e babilônios foram assimilados pelos gregos que tiveram o mérito de contribuir para o estabelecimento da matemática da forma como a entendemos hoje.

Foi na Grécia que surgiu o primeiro livro de Matemática – “Os Elementos de Euclides” - que se constituiu na primeira tentativa de sistematização dos conhecimentos adquiridos até então e na construção de uma teoria matemática baseada em poucos postulados.

À matemática empírica de babilônios e egípcios se contrapõe então, à matemática dedutiva da escola grega.

Eram esses os problemas e era esse o estágio de desenvolvimento da matemática desde a Grécia até os séculos XVI e começo do século XVII.

As grandes navegações do século XVI, o surgimento da indústria, os interesses do grande comércio que surgia na época, exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao movimento planetário.

Destes problemas ocuparam-se grandes cientistas do século XVII, porém o clímax destes esforços—a invenção (ou descoberta?) do Cálculo—coube a Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Após o estabelecimento dos fundamentos do Cálculo, torna-se possível à análise de problemas físicos de real importância, com precisão e rigor jamais experimentados. São estabelecidos os fundamentos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos e tem início o estudo das Equações Diferenciais e Integrais.

O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

A questão mais importante, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número “pi”.

O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de “pi” por aproximações sucessivas foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade.

Outras contribuições para o Cálculo

Outras contribuições para o nascimento do Cálculo Integral foram as de Fermat e Joham Bernoulli .

Aritmética do Infinito Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, “parábolas maiores,” que era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

O Cálculo Integral era visto separadamente por Newton e Leibniz: Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico. Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O Cálculo de Newton foi simplesmente visto como derivadas “reversas”. Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado método das frações parciais.

As idéias de Bernoulli foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época.Foi Euler, entretanto, quem criou os fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

Cálculo Infinitesimal

Natureza do Cálculo Infinitesimal.

Ocorrendo que uma variável y seja função de outra variável x, se propõe a estudar em dois momentos:

Inicialmente descobre-se uma representação analítica y = f( x ) expressando essa dependência, a seguir estuda-se as propriedades dessa função .

Em oposição ao enfoque mais recente de Cauchy-Weierstrass e que substitui o uso dos infinitésimos por desigualdades tipo epsilon-delta, por ser mais natural e intuitivo, alem de corresponder muito melhor ao modo de pensar dos físicos e engenheiros.

Com a divulgação dos escritos matemáticos de Archimedes na Europa aplicando seus métodos na determinação de áreas, volumes e centros de gravidade, é retomado com enorme ímpeto o estudo dos métodos infinitesimais. De início, a preocupação é apenas a de continuar a tradição arquimediana.

Mas logo o espírito renascentista se faz notar através de Galileu 1620 . Esse, ao contrário dos já citados, procurou ir além dos gregos e não mais se limitar a estudar as grandezas de natureza geométrica da Astronomia, Óptica e Estática. Ele é a primeira grande inteligência a estudar quantitativamente áreas nunca abordadas pelos gregos clássicos: Cinemática, Dinâmica, Elasticidade, etc.

O enorme prestígio de Galileu possibilitou que todos vissem que os métodos infinitesimais eram os instrumentos adequados para o estudo dessas novas disciplinas, passados 100 anos surgiu Newton, esse já encontrou uma ampla base matemática e física para a composição do primeiro grande monumento celebrando o poder do Cálculo Infinitesimal.